البرنامج التعليمي لجدول الجبر المنطقي - شرح رموز XOR و NOR والمنطق

كلنا نحب أجهزة الكمبيوتر. يمكنهم فعل الكثير من الأشياء المدهشة. في غضون عقدين من الزمن ، أحدثت أجهزة الكمبيوتر ثورة في جميع جوانب حياة الإنسان تقريبًا.

يمكنهم القيام بمهام بدرجات متفاوتة من التطور ، كل ذلك بمجرد قلب الأصفار والآحاد. من اللافت للنظر كيف يمكن لمثل هذا الإجراء البسيط أن يؤدي إلى الكثير من التعقيد.

لكنني متأكد من أنكم تعلمون جميعًا أن مثل هذا التعقيد لا يمكن تحقيقه (عمليًا) بمجرد التقليب العشوائي للأرقام. هناك بالفعل بعض الأسباب وراء ذلك. هناك قواعد تحكم طريقة عمل ذلك. في هذه المقالة سنناقش هذه القواعد وسنرى كيف تحكم طريقة "تفكير" أجهزة الكمبيوتر.

ما هو الجبر البولي؟

القواعد التي ذكرتها أعلاه موصوفة في مجال الرياضيات يسمى الجبر البولي.

في كتابه عام 1854 ، اقترح عالم الرياضيات البريطاني جورج بول مجموعة منهجية من القواعد للتلاعب بقيم الحقيقة. أعطت هذه القواعد أساسًا رياضيًا للتعامل مع الافتراضات المنطقية. أدت هذه المجموعات من الأسس إلى تطوير الجبر البولي.

لفهم الجبر المنطقي بشكل أفضل ، علينا أولاً أن نفهم أوجه التشابه والاختلاف بين الجبر البولي وأشكال الجبر الأخرى.

يتعامل الجبر بشكل عام مع دراسة الرموز الرياضية والعمليات التي يمكن إجراؤها على هذه الرموز.

هذه الرموز ليس لها معنى خاص بها. يمثلون بعض الكمية الأخرى. هذه الكمية هي التي تعطي بعض القيمة لهذه الرموز وهذه الكمية هي التي يتم تنفيذ العمليات عليها بالفعل.

يتعامل الجبر المنطقي أيضًا مع الرموز والقواعد التي تحكم العمليات على هذه الرموز ولكن الاختلاف يكمن في ما تمثله هذه الرموز .

في حالة الجبر العادي ، تمثل الرموز الأرقام الحقيقية بينما في الجبر المنطقي تمثل قيم الحقيقة.

توضح الصورة أدناه المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية. تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية الأعداد الطبيعية (1 ، 2 ، 3 ، 4 ....) ، الأعداد الصحيحة (كل الأعداد الطبيعية و 0) ، الأعداد الصحيحة (.....- 2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ...) وهكذا. يتعامل الجبر العادي مع هذه المجموعة الكاملة من الأرقام.

تتكون قيم الحقيقة ، بالمقارنة ، من مجموعة من قيمتين فقط: خطأ وصحيح. هنا ، أود أن أشير إلى حقيقة أنه يمكننا استخدام أي رمز آخر لتمثيل هذه القيم.

على سبيل المثال ، في علوم الكمبيوتر ، نمثل هذه القيم غالبًا باستخدام 0 و 1. يستخدم 0 للخطأ و 1 للصواب.

يمكنك أيضًا القيام بذلك بطرق أكثر فخامة من خلال تمثيل قيم الحقيقة مع بعض الرموز الأخرى مثل Cats and Dogs أو الموز والبرتقال.

النقطة هنا هي أن المعنى الداخلي لهذه الرموز سيبقى كما هو بغض النظر عن الرمز الذي تستخدمه. لكن تأكد من عدم تغيير الرموز أثناء إجراء العمليات.

السؤال الآن هو أنه إذا كانت (صواب وخطأ) ، (0 و 1) مجرد تمثيلات ، فما الذي يحاولون تمثيله؟

يأتي المعنى الكامن وراء قيم الحقيقة من حقل المنطق حيث تُستخدم قيم الحقيقة لمعرفة ما إذا كان الاقتراح "صحيحًا" أو "خطأ". تمثل قيم الحقيقة هنا علاقة القضية بالحقيقة ، أي ما إذا كانت القضية صحيحة أم خاطئة.

الاقتراح هو مجرد عبارة مثل "كل القطط لطيفة".

إذا كان الاقتراح أعلاه صحيحًا ، فنحن نخصص له قيمة الحقيقة "True" أو "1" وإلا فإننا نخصصه "False" أو "0".

في الإلكترونيات الرقمية ، تُستخدم قيم الحقيقة لتمثيل حالات "التشغيل" و "الإيقاف" للدوائر الإلكترونية. سنناقش المزيد حول ذلك لاحقًا في هذه المقالة.

العمليات المنطقية وجداول الحقيقة

تمامًا مثل الجبر العادي ، يحتوي الجبر البولي أيضًا على عمليات يمكن تطبيقها على القيم للحصول على بعض النتائج. على الرغم من أن هذه العمليات لا تشبه تلك الموجودة في الجبر العادي لأنه ، كما ناقشنا سابقًا ، يعمل الجبر البولي على قيم الحقيقة بدلاً من الأعداد الحقيقية.

الجبر البولي له ثلاث عمليات أساسية.

OR : يُعرف أيضًا باسم Disjunction . يتم تنفيذ هذه العملية على متغيرين منطقيين. سيكون ناتج العملية OR 0 عندما يكون كلا المعاملين 0 ، وإلا فسيكون 1.

للحصول على صورة أوضح لما تفعله هذه العملية ، يمكننا تصورها بمساعدة جدول الحقيقة أدناه.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

AND : يُعرف أيضًا باسم Conjunction . يتم تنفيذ هذه العملية على متغيرين منطقيين. سيكون ناتج عمليات AND 1 عندما يكون كلا المعاملين 1 ، وإلا فسيكون 0. تمثيل جدول الحقيقة هو كما يلي.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

NOT : يُعرف أيضًا بالنفي . يتم تنفيذ هذه العملية على متغير واحد فقط. إذا كانت قيمة المتغير 1 ، فإن هذه العملية تحولها ببساطة إلى 0 وإذا كانت قيمة المتغير 0 ، فإنها تحوله إلى 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

الجبر المنطقي والدوائر الرقمية

بعد تطويره الأولي ، ظل الجبر البولي ، لفترة طويلة جدًا ، أحد تلك المفاهيم في الرياضيات التي لم يكن لها أي تطبيقات عملية مهمة.

في الثلاثينيات من القرن الماضي ، أدرك عالم الرياضيات الأمريكي كلود شانون أنه يمكن استخدام الجبر المنطقي في الدوائر حيث يمكن أن تمثل المتغيرات الثنائية إشارات الجهد "المنخفض" و "العالي" أو حالات "التشغيل" و "الإيقاف".

أدت هذه الفكرة البسيطة المتمثلة في إنشاء الدوائر بمساعدة Boolean Algebra إلى تطوير الإلكترونيات الرقمية التي ساهمت بشكل كبير في تطوير الدوائر لأجهزة الكمبيوتر.

تقوم الدوائر الرقمية بتطبيق الجبر المنطقي بمساعدة البوابات المنطقية. البوابات المنطقية هي الدوائر التي تمثل عملية منطقية. على سبيل المثال ، ستمثل بوابة OR عملية OR. الشيء نفسه ينطبق على بوابات NOT و AND أيضًا.

إلى جانب البوابات المنطقية الأساسية ، لدينا أيضًا بوابات منطقية يمكن إنشاؤها باستخدام مجموعة من البوابات المنطقية الأساسية.

NAND : تتكون بوابة NAND من مجموعة من بوابات NOT و AND. تعطي بوابة NAND خرجًا بقيمة 0 إذا كان كلا المدخلين 1 ، وإلا 1.

تمتلك بوابة NAND خاصية الاكتمال الوظيفي ، مما يعني أنه يمكن تنفيذ أي وظيفة منطقية فقط باستخدام مجموعة من بوابات NAND فقط.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR : بوابة NOR تتكون من مزيج من بوابات NOT و OR. تعطي بوابة NOR خرجًا بمقدار 1 إذا كان كلا المدخلين 0 ، وإلا 0.

بوابة NOR ، تمامًا مثل بوابة NAND ، تحمل خاصية الإكمال الوظيفي ، مما يعني أنه يمكن تنفيذ أي وظيفة منطقية فقط باستخدام مجموعة من بوابات NOR فقط.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

يتم إنشاء معظم الدوائر الرقمية باستخدام بوابات NAND أو NOR نظرًا لخاصية الاكتمال الوظيفي وأيضًا لسهولة تصنيعها.

بخلاف البوابات المذكورة أعلاه ، لدينا أيضًا نوع خاص من البوابات التي تخدم بعض الأغراض المحددة. هذه كالتالي:

XOR : بوابة XOR أو بوابة Exclusive-OR هي نوع خاص من البوابة المنطقية التي تعطي 0 كناتج إذا كان كلا المدخلين إما 0 أو 1 ، وإلا فإنها تعطي 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : بوابة XNOR أو بوابة Exclusive-NOR هي نوع خاص من البوابة المنطقية التي تعطي 1 كإخراج عندما يكون كلا المدخلين إما 0 أو 1 ، وإلا فإنه يعطي 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

استنتاج

لذلك ، مع كل ما يمكننا الآن أن نختتم مناقشتنا حول الجبر المنطقي هنا. آمل أن يكون لديك الآن صورة لائقة لما يدور حوله الجبر البولي.

هذا بالتأكيد ليس كل ما تحتاج لمعرفته حول الجبر البولي. يحتوي الجبر البولي على الكثير من المفاهيم والتفاصيل التي لم نتمكن من مناقشتها في هذه المقالة.