شرح طريقة أويلر بأمثلة

ما هي طريقة أويلر؟

طريقة أويلر هي إجراء رقمي من الدرجة الأولى لحل المعادلات التفاضلية العادية (ODE) بقيمة أولية معينة.

مشكلة القيمة الأولية العامة

المنهجية

تستخدم طريقة أويلر الصيغة البسيطة ،

لبناء الظل عند النقطة xوالحصول على قيمة من y(x+h)ميله ،

في طريقة أويلر ، يمكنك تقريب منحنى الحل من خلال الظل في كل فترة (أي ، بتسلسل مقاطع خطية قصيرة) ، بخطوات h.

بشكل عام ، إذا كنت تستخدم حجم خطوة صغير ، تزداد دقة التقريب.

الصيغة العامة

القيمة الوظيفية في أي وقت من bخلالy(b)

أين،

  • ن = عدد الخطوات
  • ح = عرض الفاصل (حجم كل خطوة)

كود مزيف

مثال

البحث y(1)، المعطى

بالحل التحليلي ، يكون الحل هو y = ex و y(1)= 2.71828. (ملاحظة: هذا الحل التحليلي مخصص فقط لمقارنة الدقة.)

باستخدام طريقة أويلر ، مع الأخذ في الاعتبار h= 0.2، 0.1، 0.01، يمكنك رؤية النتائج في الرسم التخطيطي أدناه.

عندما h= 0.2، y(1)= 2.48832(الخطأ = 8.46٪)

عندما h= 0.1، y(1)= 2.59374(الخطأ = 4.58٪)

عندما h= 0.01، y(1)= 2.70481(الخطأ = 0.50٪)

يمكنك أن تلاحظ كيف تتحسن الدقة عندما تكون الخطوات صغيرة.