عودة الغموض

لفهم العودية ، يجب عليك أولاً فهم العودية.

مجنون أليس كذلك؟

حسنًا ، آمل أن تشعر بنهاية هذه المقالة بثقة أكبر بشأن ماهية العودية وبشكل أساسي ، كيف يمكننا التوصل إلى حل تعاودي لمشكلة ما.

ما هو العودية؟

كيف تفسر عودة الطفل البالغ من العمر 4 سنوات؟ هذا سؤال مقابلة مشهور جدًا ، وهناك الكثير من الإجابات المتاحة على الويب. لن نجيب على هذا السؤال لأنه مألوف للغاية.

إذا كنت ذكيًا مثلي؟ ، يمكنك أن تشرح العودية لشخص أصغر منك بسنة. اطلب منهم شرح العودية لشخص أصغر منهم بسنة واحدة. استمر حتى يصبح لديك طفل يبلغ من العمر 5 سنوات يشرح العودية لطفل يبلغ من العمر 4 سنوات. منجز. [المصدر: reddit].

في مصطلحات البرمجة ، العودية هي

دالة تستدعي نفسها.

لا تؤدي الوظيفة المذكورة أعلاه أي عمل مفيد على هذا النحو ، لكنها توضح التكرار. العلاقة العودية أعلاه ستكون

T(N) = T(N - 1) + O(1)

هذا يعني ببساطة أن تنفيذ المكالمة random_function(n)لا يمكن أن يستمر حتى اكتمال الاتصال وما إلى random_function(n-1)ذلك.

بشكل أساسي ، نقوم بتأخير تنفيذ الحالة الحالية للوظيفة حتى تكتمل استدعاء آخر لنفس الوظيفة وإرجاع نتيجتها.

يواصل المترجم حفظ حالة استدعاء الوظيفة الآن ثم ينتقل إلى استدعاء الوظيفة التالي وما إلى ذلك. لذلك ، يحفظ المترجم حالات الوظيفة في مكدس ويستخدمها للحسابات والتراجع.

بشكل أساسي ، إذا كان من الممكن تقسيم المشكلة إلى مشكلات فرعية مماثلة والتي يمكن حلها بشكل فردي ، والتي يمكن دمج حلولها معًا للحصول على الحل الشامل ، فإننا نقول إنه قد يكون هناك حل متكرر للمشكلة.

بدلاً من التشبث بهذا التعريف القديم على ما يبدو للتكرار ، سننظر في مجموعة كاملة من تطبيقات العودية. ثم نأمل أن تكون الأمور واضحة.

عامل الضرب لرقم

دعونا نرى كيف يمكننا معرفة عاملي العدد. قبل ذلك ، دعنا نرى ما يمثله عامل الرقم وكيف يتم حسابه.

factorial(N) = 1 * 2 * 3 * .... * N - 1 * N

ببساطة ، مضروب الرقم هو فقط حاصل ضرب الحدود من 1 إلى العدد N مضروبًا في بعضها البعض.

يمكننا ببساطة الحصول على forحلقة من 1 إلى N وضرب كل المصطلحات بشكل تكراري وسيكون لدينا عاملي الرقم المحدد.

ولكن ، إذا نظرت عن كثب ، هناك بنية عودية ملازمة لمضروب الرقم.

factorial(N) = N * factorial(N - 1)

إنه يشبه إلغاء تحميل الحساب إلى استدعاء وظيفة آخر يعمل على نسخة أصغر من المشكلة الأصلية. دعونا نرى كيف ستتكشف هذه العلاقة للتحقق مما إذا كان الحل هنا يطابق الحل الذي توفره forالحلقة.

لذلك ، يتضح من الشكلين أعلاه أن الدالة العودية التي حددناها سابقًا ،

factorial(N) = N * factorial(N - 1)

هو حقا صحيح. قم بإلقاء نظرة على مقتطف شفرة Python المستخدم للعثور على عاملي دالة ، بشكل متكرر.

كان هذا المثال بسيطًا جدًا. دعونا نفكر في مثال أكبر قليلاً ولكنه قياسي لإثبات مفهوم العودية.

متتالية فيبوناتشي

يجب أن تكون على دراية بتسلسل فيبوناتشي الشهير. بالنسبة لأولئك منكم الذين لم يسمعوا عن هذا التسلسل أو لم يروا مثالاً من قبل ، فلنلق نظرة.

1 1 2 3 5 8 13 ..... 

دعونا نلقي نظرة على الصيغة لحساب عدد فيبوناتشي n ^ th.

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)where F(1) = F(2) = 1

من الواضح أن هذا التعريف لتسلسل فيبوناتشي متكرر بطبيعته ، نظرًا لأن عدد فيبوناتشي n ^ th يعتمد على رقمي فيبوناتشي السابقين. هذا يعني تقسيم المشكلة إلى مشاكل فرعية أصغر ، وبالتالي العودية. ألق نظرة على الكود الخاص بهذا:

يجب أن تحتوي كل مشكلة عودية على شيئين ضروريين:

  1. علاقة التكرار التي تحدد حالات المشكلة وكيف يمكن تقسيم المشكلة الرئيسية إلى مشاكل فرعية أصغر. يتضمن هذا أيضًا الحالة الأساسية لإيقاف العودية.
  2. شجرة العودية التي تعرض الاستدعاءات القليلة الأولى ، إن لم يكن جميعها ، للوظيفة قيد النظر. ألقِ نظرة على شجرة العودية للعلاقة العودية لتسلسلات فيبوناتشي.

توضح لنا شجرة العودية أن النتائج التي تم الحصول عليها من معالجة الشجرتين الفرعيتين للجذر N يمكن استخدامها لحساب نتيجة الشجرة المتجذرة في N. وبالمثل بالنسبة للعقد الأخرى.

ستكون أوراق شجرة العودية هذه fibonacci(1)أو fibonacci(2)كلاهما يمثلان الحالات الأساسية لهذا العودية.

الآن بعد أن أصبح لدينا فهم أساسي جدًا للتكرار ، ما هي علاقة التكرار ، وشجرة العودية ، دعنا ننتقل إلى شيء أكثر إثارة للاهتمام.

أمثلة!

أنا أؤمن بشدة بحل عدد لا يحصى من الأمثلة لأي موضوع معين في البرمجة لأصبح سيدًا في هذا الموضوع. المثالان اللذان درسناهما (عامل رقم وتسلسل فيبوناتشي) لهما علاقات تكرار محددة جيدًا. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة حيث قد لا تكون علاقة التكرار واضحة للغاية.

ارتفاع الشجرة

لتبسيط الأمور في هذا المثال ، سننظر فقط في الشجرة الثنائية. لذلك ، فإن الشجرة الثنائية هي بنية بيانات شجرية تحتوي كل عقدة فيها على طفلين على الأكثر. تم تعيين عقدة واحدة من الشجرة على أنها جذر الشجرة ، على سبيل المثال:

دعنا نحدد ما نعنيه بارتفاع الشجرة الثنائية.

سيكون ارتفاع الشجرة هو أطول مسار جذر لأوراق الشجرة.

لذلك ، بالنسبة لمثال الرسم البياني المعروض أعلاه ، مع الأخذ في الاعتبار أن العقدة التي تم تصنيفها على Aأنها جذر الشجرة ، فإن أطول مسار لجذر الورقة هو A → C → E → G → I . بشكل أساسي ، يكون ارتفاع هذه الشجرة 5إذا عدنا عدد العقد 4وإذا قمنا فقط بحساب عدد الحواف على أطول مسار.

الآن ، انسَ الشجرة بأكملها وركز فقط على الأجزاء الموضحة في الرسم التخطيطي أدناه.

يوضح الشكل أعلاه أنه يمكننا تمثيل شجرة في شكل شجرها الفرعي. بشكل أساسي ، الهيكل الموجود على يسار العقدة A والبنية الموجودة على يمين A هي أيضًا شجرة ثنائية بحد ذاتها ، أصغر حجمًا وتحتوي على عقد جذر مختلفة. لكنها مع ذلك أشجار ثنائية.

ما المعلومات التي يمكننا الحصول عليها من هاتين الشجرتين الفرعيتين والتي ستساعدنا في إيجاد ارتفاع الشجرة الرئيسية المتجذرة عند A؟

إذا عرفنا ارتفاع الشجرة الفرعية اليسرى ، على سبيل المثال h1، وارتفاع الشجرة الفرعية اليمنى ، على سبيل المثال h2، فيمكننا القول ببساطة أن maximum of the two + 1العقدة A ستعطينا ارتفاع الشجرة. أليس هذا صحيحا؟

إضفاء الطابع الرسمي على هذه العلاقة العودية ،

height(root) = max(height(root.left), height(root.right)) + 1

إذن ، هذا هو التعريف العودي لارتفاع الشجرة الثنائية . ينصب التركيز على النظام الثنائي هنا ، لأننا استخدمنا فقط طفلين للعقدة root التي يمثلها root.left و root.right.لكن ، من السهل تمديد هذه العلاقة العودية إلى شجرة n-ary. دعونا نلقي نظرة على هذا في الكود.

تم تبسيط المشكلة هنا إلى حد كبير لأننا تركنا العودية تقوم بكل الرفع الثقيل لنا. استخدمنا ببساطة الأمثلإجابات لمشاكلنا الفرعية لإيجاد حل لمشكلتنا الأصلية.

لنلق نظرة على مثال آخر يمكن حله في سطور متشابهة.

عدد العقد في الشجرة

هنا مرة أخرى ، سننظر في شجرة ثنائية من أجل البساطة ، ولكن يمكن توسيع الخوارزمية والنهج إلى أي نوع من الأشجار بشكل أساسي.

المشكلة نفسها تشرح نفسها بنفسها. بالنظر إلى جذر الشجرة الثنائية ، نحتاج إلى تحديد العدد الإجمالي للعقد في الشجرة. هذا السؤال والنهج الذي سنتوصل إليه هنا يشبه إلى حد بعيد السؤال السابق. علينا فقط إجراء تغييرات طفيفة وسيكون لدينا عدد العقد في الشجرة الثنائية.

ألق نظرة على الرسم البياني أدناه.

الرسم البياني يوضح كل شيء. نعلم بالفعل أنه يمكن تقسيم الشجرة إلى أشجار فرعية أصغر. هنا مرة أخرى ، يمكننا أن نسأل أنفسنا ،

ما المعلومات التي يمكن أن نحصل عليها من هاتين الشجرتين الفرعيتين والتي ستساعدنا في إيجاد عدد العقد في الشجرة المتجذرة عند A؟

Well, if we knew the number of nodes in the left subtree and the number of nodes in the right subtree, we can simply add them up and add one for the root node and that would give us the total number of nodes.

Formalizing this we get,

number_of_nodes(root) = number_of_nodes(root.left) + number_of_nodes(right) + 1

If you look at this recursion and the previous one, you will find that they are extremely similar. The only thing that is varying is what we do with the information we obtained from our subproblems and how we combined them to get some answer.

Now that we have seen a couple of easy examples with a binary tree, let’s move onto something less trivial.

Merge Sort

Given an array of numbers like

4 2 8 9 1 5 2

we need to come up with a sorting technique that sorts them either in ascending or descending order. There are a lot of famous sorting techniques out there for this like Quick Sort, Heap Sort, Radix Sort and so on. But we are specifically going to look at a technique called the Merge Sort.

It’s possible that a lot of you are familiar with the Divide and Conquer paradigm, and this might feel redundant. But bear with me and read on!

The idea here is to break it down into subproblems.

That’s what the article is about right ? ?

What if we had two sorted halves of the original array. Can we use them somehow to sort the entire array?

That’s the main idea here. The task of sorting an array can be broken down into two smaller subtasks:

  • sorting two different halves of the array
  • then using those sorted halves to obtain the original sorted array

Now, the beauty about recursion is, you don’t need to worry about how we will get two sorted halves and what logic will go into that. Since this is recursion, the same method call to merge_sort would sort the two halves for us. All we need to do is focus on what we need to do once we have the sorted haves with us.

Let’s go through the code:

At this point, we trusted and relied on our good friend recursion and assumed that left_sorted_half and right_sorted_half would in fact contain the two sorted halves of the original array.

So, what next?

The question is how to combine them somehow to give the entire array.

The problem now simply boils down to merging two sorted arrays into one. This is a pretty standard problem and can be solved by what is known as the “two finger approach”.

Take a look at the pseudo code for better understanding.

let L and R be our two sorted halves. let ans be the combined, sorted array
l = 0 // The pointer for the left halfr = 0 // The pointer for the right halfa = 0 // The pointer for the array ans
while l < L.length and r < R.length { if L[l] < R[r] { ans[a] = L[l] l++ } else { ans[a] = R[r] r++ }}
copy remaining array portion of L or R, whichever was longer, into ans.

Here we have two pointers (fingers), and we position them at the start of the individual halves. We check which one is smaller (that is, which value pointed at by the finger is smaller), and we add that value to our sorted combined array. We then advance the respective pointer (finger) forward. In the end we copy the remaining portion of the longer array and add it to the back of the ans array.

So, the combined code for merge-sort is as follows:

We will do one final question using recursion and trust me, it’s a tough one and a pretty confusing one. But before moving onto that, I will iterate the steps I follow whenever I have to think of a recursive solution to a problem.

Steps to come up with a Recursive Solution

  1. Try and break down the problem into subproblems.

2. Once you have the subproblems figured out, think about what information from the call to the subproblems can you use to solve the task at hand. For example, the factorial of N — 1 to find the factorial of N , height of the left and right subtrees to find the height of the main tree, and so on.

3. Keep calm and trust recursion! Assume that your recursive calls to the subproblems will return the information you need in the most optimal fashion.

4. The final step in this process is actually using information we just got from the subproblems to find the solution to the main problem. Once you have that, you’re ready to code up your recursive solution.

Now that we have all the steps lined up, let’s move on to our final problem in this article. It’s called Sum of Distances in a Tree.

Sum of Distances in a Tree

Let’s look at what the question is asking us to do here. Consider the following tree.

In the example above, the sum of paths for the node A (the number of nodes on each path from A to every other vertex in the tree) is 9. The individual paths are mentioned in the diagram itself with their respective lengths.

Similarly, consider the sum of distances for the node C.

C --> A --> B (Length 2)C --> A (Length 1)C --> D (Length 1)C --> E (Length 1)C --> D --> F (Length 2)Sum of distances (C) = 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7

This is known as the sum of distances as defined for just a single node A or C. We need to calculate these distances for each of the nodes in the tree.

Before actually solving this generic problem, let us consider a simplified version of the same problem. It says that we just need to calculate the sum of distances for a given node, but we will only consider the tree rooted at the given node for calculations.

So, for the node C, this simplified version of the problem would ask us to calculate:

C --> D (Length 1)C --> E (Length 1)C --> D --> F (Length 2)Simplified Sum of Distances (C) = 1 + 1 + 2 = 4

This is a much simpler problem to tackle recursively and would prove to be useful in solving the original problem.

Consider the following simple tree.

The nodes B and C are the children of the root (that is, A).

We are trying to see what information can we use from subproblems (the children) to compute the answer for the root A .

Note: here we simply want to calculate the sum of paths for a given node X to all its successors in its own subtree (the tree rooted at the node X).

There are no downwards going paths from the node B, and so the sum of paths is 0 for the node B in this tree. Let’s look at the node C . So this node has 3 different successors in F, D and E . The sum of distances are as follows:

C --> D (Path containing just 1 edge, hence sum of distances = 1)C --> D --> F (Path containing 2 edges, hence sum of distances = 2)C --> E (Path containing just 1 edge, hence sum of distances = 1)

The sum of all the paths from the node C to all of its decedents is 4, and number of such paths going down is 3.

Note the difference here. The sum_of_distances here counts the number of edges in each path — with each edge repeating multiple times, probably because of their occurrence on different paths — unlike number_of_paths , which counts, well, the number of paths ?.

If you look closely, you will realize that the number of paths going down is always going to be the number of nodes in the tree we are considering (except the root). So, for the tree rooted at C, we have 3 paths, one for the node D, one for E, and one for F. This means that the number of paths from a given node to the successor nodes is simply the total number of descendent nodes since this is a tree. So, no cycles or multiple edges.

Now, consider the node A. Let us look at all the new paths that are being introduced because of this node A. Forget the node B for now and just focus on the child node C corresponding to A. The new sets of paths that we have are:

A --> C (Path containing just 1 edge, hence sum of distances = 1)A --> (C --> D) (Path containing 2 edges, hence sum of distances = 2)A --> (C --> E) (Path containing 2 edges, hence sum of distances = 2)A --> (C --> D --> F) (Path containing 3 edges, hence sum of distances = 3)

Except for the first path A → C, all the others are the same as the ones for the node C, except that we have simply changed all of them and incorporated one extra node A.

If you look at the diagram above you will see a tuple of values next to each of the nodes A, B, and C.

(X, Y) where X is the number of paths originating at that node and going down to the decedents. Y is the sum of distances for the tree rooted at the given node. 

Since the node B doesn’t have any further children, the only path it is contributing to is the path A -->; B to A's tuple of (5, 9) above. So let’s talk about C.

C had three paths going to its successors. Those three paths (extended by one more node for A) also become three paths from A to its successors, among others.

N-Paths[A] = (N-Paths[C] + 1) + (N-Paths[B] + 1)

That is the exact relation we are looking for as far as the number of paths (= number of successor nodes in the tree) are concerned. The 1 is because of the new path from the root to it’s child, that is A -->; C in our case.

N-Paths[A] = 3 + 1 + 0 + 1 = 5

As far as the sum of distances is concerned, take a look at the diagram and the equations we just wrote. The following formula becomes very clear:

Sum-Dist[A] = (N-Paths[C] + 1 + Sum-Dist[C]) + (N-Paths[B] + 1 + Sum-Dist[B])
Sum-Dist[A] = (3 + 1 + 4 + 0 + 1 + 0) = 9

The main thing here is N-Paths[C] + Sum-Dist[C] . We sum these up because all of the paths from C to its descendants ultimately become the paths from A to its descendants — except that they originate at A and go through C, and so each of the path lengths are increased by 1. There are N-Paths[C] paths in all originating from C and their total length is given by Sum-Dist[C] .

Hence the tuple corresponding to A = (5, 9). The Python code for the algorithm we discussed above is as follows:

The Curious Case of the Visited Dictionary :/

If you look at the code above closely, you’ll see this:

# Prevents the recursion from going into a cycle. self.visited[vertex] = 1

The comment says that this visited dictionary is for preventing the recursion from entering a cycle.

If you’ve paid attention til now, you know that we are dealing with a tree here.

The definition of a tree data structure doesn’t allow cycles to exist. If a cycle exists in the structure, then it is no longer a tree, it becomes a graph. In a tree, there is exactly one path between any two pair of vertices. A cycle would mean there is more than one path between a pair of vertices. Look at the figures below.

The structure on the left is a tree. It has no cycles in it. There is a unique path between any two vertices.

The structure on the right is a graph, there exists a cycle in the graph and hence there are multiple paths between any pair of vertices. For this graph, it so happens that any pair of vertices have more than one path. This is not necessary for every graph.

Almost always, we are given the root node of the tree. We can use the root node to traverse the entire tree without having to worry about any cycles as such.

However, if you’ve read the problem statement clearly, it does not state anything about root of the tree.

That means that there is no designated root for the tree given in the question. This could mean that a given tree can be visualized and processed in so many different ways depending upon what we consider as the root. Have a look at multiple structures for the same tree but with different root nodes.

So many different interpretations and parent child relationships are possible for a given unrooted tree.

So, we start with the node 0 and do a DFS traversal of the given structure. In the process we fix the parent child relationships. Given the edges in the problem, we construct an undirected graph-like structure which we convert to the tree structure. Taking a look at the code should clear up some of your doubts:

Every node would have one parent. The root won’t have any parent, and the way this logic is, the node 0 would become the root of our tree. Note that we are not doing this process separately and then calculating the sum of distances downwards. Given a tree, we were trying to find, for every node, the simplified sum of distances for the tree rooted at that node.

So, the conversion from the graph to the tree happens in one single iteration along with finding out the sum of distances downwards for each and every node.

I posted the code again so that the visited dictionary makes much more sense now. So, one single recursion doing all that for us. Nice!

Bringing it all together

Now that we have our tree structure defined, and also the values of sum of distances going downward defined for us, we can use all of this information to solve the original problem of Sum of Distances in a Tree.

How do we do that? It’s best to explain this algorithm with the help of an example. So we will consider the tree below and we will dry run the algorithm for a single node. Let’s have a look at the tree we will be considering.

The node for which we want to find the sum of distances is 4. Now, if you remember the simpler problem we were trying to solve earlier, you know that we already have two values associated with each of the nodes:

  1. distances_down Which is the sum of distances for this node while only considering the tree beneath.
  2. number_of_paths_down which is the number of paths / nodes in the tree rooted at the node under consideration.

Let’s look at the annotated version of the above tree. The tree is annotated with tuples (distances_down, number_of_paths_down) .

Let’s call the value we want to compute for each node as sod which means sum of distances, which is what the question originally asks us to compute.

Let us assume that we have already computed the answer for the parent node of 4 in the diagram above. So, we now have the following information for the node labelled 2 (the parent node) available:

(sod, distances_down, number_of_paths_down) = (13, 4, 3)

Let’s rotate the given tree and visualize it in a way where 2 is the root of the tree essentially.

Now, we want to remove the contribution of the tree rooted at 4 from sod(2). Let us consider all of the paths from the parent node 2 to all other nodes except the ones in the tree rooted at 4 .

2 --> 5 (1 edge)2 --> 1 (1 edge)2 --> 1 -->7 (2 edges)2 --> 1 --> 7 --> 9 (3 edges)2 --> 1 --> 7 --> 10 (3 edges)
Number of nodes considered = 6Sum of paths remaining i.e. sod(2) rem = 1 + 1 + 2 + 3 + 3 = 10

Let’s see how we can use the values we already have calculated to get these updated values.

* N = 8 (Total number of nodes in the tree. This will remain the same for every node. )* sod(2) = 13
* distances_down[4] = 1* number_of_paths_down[4] = 1
* (distances_down[4] does not include the node 4 itself)N - 1 - distances_down[4] = 8 - 1 - 1 = 6
* sod(2) - 1 - distances_down[4] - number_of_paths_down[4] = 13 - 1 - 1 - 1 = 10

If you remember this from the function we defined earlier, you will notice that the contribution of a child node to the two values distances_down and number_of_paths_down is n_paths + 1 and n_paths + s_paths + 1 respectively. Naturally, that is what we subtract to obtain the remaining tree.

sod(4) represents the sum of edges on all the paths originating at the node 4 in the tree above. Let’s see how we can find this out using the information we have calculated till now.

distances_down[4] represents the answer for the tree rooted at the node 4 but it only considers paths going to its successors, that is all the nodes in the tree rooted at 4. For our example, the successor of 4 is the node 6. So, that will directly add to the final answer. Let’s call this value own_answer . Now, let’s account for all the other paths.

4 --> 2 (1 edge)4 --> 2 --> 5 (1 + 1 edge)4 --> 2 --> 1 (1 + 1 edge)4 --> 2 --> 1 -->7 (1 + 2 edges)4 --> 2 --> 1 --> 7 --> 9 (1 + 3 edges)4 --> 2 --> 1 --> 7 --> 10 (1 + 3 edges)own_answer = 1
sod(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 = 17
sod(4) = own_answer + (N - 1 - distances_down[4]) + (sod(2) - 1 - distances_down[4] - number_of_paths_down[4]) = 1 + 6 + 10 = 17

Before you go bonkers and start doing this, let’s look at the code and bring together all of the things we discussed in the example above.

The recursive relation for this portion is as follows:

Did I just see “MEMOIZATION” in the code?

Yes, indeed you did!

Consider the following example tree:

The question asks us to find the sum of distances for all the nodes in the given tree. So, we would do something like this:

for i in range(N): ans.append(find_distances(N))

ولكن ، إذا نظرت إلى الشجرة أعلاه ، فسينتهي الأمر بالمكالمة المتكررة للعقدة 5بحساب الإجابات لجميع العقد في الشجرة. لذلك ، لا نحتاج إلى إعادة حساب إجابات العقد الأخرى مرارًا وتكرارًا.

ومن ثم ، ننتهي بتخزين القيم المحسوبة بالفعل في قاموس واستخدام ذلك في حسابات أخرى.

يعتمد التكرار بشكل أساسي على أصل العقدة ، ويمكن أن يكون للعقد المتعددة نفس الأصل. لذلك ، يجب حساب إجابة الوالد مرة واحدة فقط ثم استخدامها مرارًا وتكرارًا.

إذا تمكنت من قراءة المقال حتى الآن (ليس بالضرورة في جزء واحد؟) ، هل أنت رائع؟

إذا وجدت هذه المقالة مفيدة ، فشاركها قدر الإمكان وانشر؟ في صحتك!