كيف تعمل مصنفات Naive Bayes - مع أمثلة كود Python

تعد مصنفات Naive Bayes (NBC) خوارزميات بسيطة لكنها قوية لتعلم الآلة. وهي تستند إلى الاحتمال الشرطي ونظرية بايز.

في هذا المنشور ، أشرح "الحيلة" وراء NBC وسأعطيك مثالاً يمكننا استخدامه لحل مشكلة التصنيف.

في الأقسام التالية ، سأتحدث عن الرياضيات وراء NBC. لا تتردد في تخطي هذه الأقسام والانتقال إلى جزء التنفيذ إذا لم تكن مهتمًا بالرياضيات.

في قسم التنفيذ ، سأعرض لك خوارزمية NBC بسيطة. ثم سنستخدمها لحل مشكلة التصنيف. ستكون المهمة هي تحديد ما إذا كان راكب معين على تيتانيك قد نجا من الحادث أم لا.

احتمال مشروط

قبل الحديث عن الخوارزمية نفسها ، دعنا نتحدث عن الرياضيات البسيطة الكامنة وراءها. نحتاج إلى فهم ما هو الاحتمال الشرطي وكيف يمكننا استخدام نظرية بايز لحسابه.

فكر في نرد عادل بستة جوانب. ما هو احتمال الحصول على ستة عند رمي النرد؟ هذا سهل ، إنه 1/6. لدينا ست نتائج محتملة ومتساوية الاحتمال ، لكننا مهتمون بواحدة منها فقط. لذا ، 1/6 هو كذلك.

ولكن ماذا يحدث إذا أخبرتك أنني قد رميت النرد بالفعل والنتيجة هي رقم زوجي؟ ما هو احتمال حصولنا على ستة الآن؟

هذه المرة ، النتائج المحتملة هي ثلاثة فقط لأنه لا يوجد سوى ثلاثة أرقام زوجية على النرد. ما زلنا مهتمين بواحدة من هذه النتائج ، لذا فإن الاحتمال الآن أكبر: 1/3. ما الفرق بين الحالتين؟

في الحالة الأولى ، لم يكن لدينا معلومات مسبقة عن النتيجة. وبالتالي ، كنا بحاجة إلى النظر في كل نتيجة ممكنة.

في الحالة الثانية ، قيل لنا أن النتيجة كانت عددًا زوجيًا ، لذا يمكننا تقليل مساحة النتائج المحتملة إلى الأرقام الثلاثة الزوجية التي تظهر في نرد منتظم من ستة جوانب.

بشكل عام ، عند حساب احتمال حدث A ، نظرًا لوقوع حدث آخر B ، نقول إننا نحسب الاحتمال الشرطي لـ A معطى B ، أو مجرد احتمال A معطى B. ونشير إليه P(A|B).

على سبيل المثال، فإن احتمال الحصول على ستة بالنظر إلى أن عدد لدينا، بل هو: P(Six|Even) = 1/3. هنا ، نشير إلى ستة حدث الحصول على ستة ومع حتى حدث الحصول على رقم زوجي.

لكن كيف نحسب الاحتمالات الشرطية؟ هل هناك صيغة؟

كيفية حساب المسببات الشرطية ونظرية بايز

الآن ، سأعطيكم معادلات لحساب الاحتمالات الشرطية. أعدك بأنها لن تكون صعبة ، وهي مهمة إذا كنت تريد فهم رؤى خوارزميات التعلم الآلي التي سنتحدث عنها لاحقًا.

يمكن حساب احتمال حدوث حدث أ بالنظر إلى وقوع حدث آخر ب على النحو التالي:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

حيث P(A,B)يشير إلى احتمال حدوث كل من A و B في نفس الوقت ، P(B)ويشير إلى احتمال حدوث B.

لاحظ أننا بحاجة P(B) > 0لأنه ليس من المنطقي التحدث عن احتمال A معطى B إذا كان حدوث B غير ممكن.

يمكننا أيضًا حساب احتمال حدث A ، نظرًا لوقوع أحداث متعددة B1 ، B2 ، ... ، Bn:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

هناك طريقة أخرى لحساب المسائل الشرطية. هذه الطريقة هي ما يسمى نظرية بايز.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

لاحظ أننا نحسب احتمالية الحدث أ بالنظر إلى الحدث ب ، عن طريق عكس ترتيب وقوع الأحداث.

الآن نفترض أن الحدث A قد وقع ونريد حساب احتمال الحدث B (أو الأحداث B1 ، B2 ، ... ، Bn في المثال الثاني والأكثر عمومية).

الحقيقة المهمة التي يمكن اشتقاقها من هذه النظرية هي الصيغة التي يجب حسابها P(B1,B2,...,Bn,A). هذا يسمى قاعدة سلسلة الاحتمالات.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

هذه صيغة قبيحة ، أليس كذلك؟ ولكن في ظل بعض الظروف ، يمكننا إجراء حل بديل وتجنبه.

لنتحدث عن المفهوم الأخير الذي نحتاج إلى معرفته لفهم الخوارزميات.

استقلال

المفهوم الأخير الذي سنتحدث عنه هو الاستقلال. نقول إن الأحداث A و B مستقلة إذا

P(A|B) = P(A) 

هذا يعني أن احتمال الحدث "أ" لا يتأثر بحدوث الحدث "ب" والنتيجة المباشرة هي ذلك P(A,B) = P(A)P(B).

في اللغة الإنجليزية البسيطة ، يعني هذا أن احتمال حدوث كل من A و B في نفس الوقت يساوي ناتج تحقيقات الأحداث A و B التي تحدث بشكل منفصل.

إذا كان A و B مستقلين ، فإنه ينص أيضًا على ما يلي:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

الآن نحن جاهزون للحديث عن تصنيفات Naive Bayes!

المصنفات الساذجة بايز

لنفترض أن لدينا ناقلات X من ن ميزات ونحن نريد أن تحديد درجة أن ناقلات من مجموعة من ك الطبقات Y1، Y2، ...، يك . على سبيل المثال ، إذا أردنا تحديد ما إذا كانت ستمطر اليوم أم لا.

لدينا فئتان محتملتان ( k = 2 ): المطر ، وليس المطر ، وقد يكون طول متجه الميزات 3 ( n = 3 ).

قد تكون الميزة الأولى سواء كانت غائمة أو مشمسة ، والميزة الثانية يمكن أن تكون ما إذا كانت الرطوبة مرتفعة أو منخفضة ، والميزة الثالثة ستكون ما إذا كانت درجة الحرارة مرتفعة أو متوسطة أو منخفضة.

لذلك ، يمكن أن تكون هذه نواقل الميزات الممكنة.

مهمتنا هي تحديد ما إذا كانت ستمطر أم لا ، بالنظر إلى ميزات الطقس.

بعد التعرف على الاحتمالات الشرطية ، يبدو من الطبيعي التعامل مع المشكلة من خلال محاولة حساب احتمال هطول الأمطار بالنظر إلى الميزات:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

إذا R > NRأجبنا أنها ستمطر ، وإلا فإننا نقول إنها لن تمطر.

بشكل عام ، إذا كان لدينا فئات k y1 و y2 و ... و yk ومتجه n من السمات X = ، فإننا نريد إيجاد الفئة yi التي تزيد من

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

لاحظ أن المقام ثابت ولا يعتمد على الفئة yi . لذا يمكننا تجاهلها والتركيز فقط على البسط.

In a previous section, we saw how to calculate P(X1, X2,..., Xn, yi) by decomposing it in a product of conditional probabilities (the ugly formula):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Assuming all the features Xi are independent and using Bayes's Theorem, we can calculate the conditional probability as follows:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

And we just need to focus on the numerator.

By finding the class yi that maximizes the previous expression, we are classifying the input vector. But, how can we get all those probabilities?

How to calculate the probabilities

When solving these kind of problems we need to have a set of previously classified examples.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

في هذه المقالة تقرأ عن الاحتمالات الشرطية والاستقلالية ونظرية بايز. هذه هي المفاهيم الرياضية وراء مصنفات Naive Bayes.

بعد ذلك ، رأينا تنفيذًا بسيطًا لـ NBC وحلنا مشكلة تحديد ما إذا كان أحد الركاب على متن تيتانيك قد نجا من الحادث.

أتمنى أن تكون قد وجدت هذه المقالة مفيدة. يمكنك أن تقرأ عن الموضوعات المتعلقة بعلوم الكمبيوتر في مدونتي الشخصية ومن خلال متابعتي على Twitter.