التقليب مقابل الجمع: ما هو الفرق بين صيغة التقليب والصيغة المركبة؟

ها هي النسخة القصيرة.

لنأخذ رنين الأجراس في الكنيسة كمثال.

التقليب هو ترتيب الأجراس. أنت تكتشف أفضل ترتيب للاتصال بهم.

الجمع هو اختيار الأجراس. أنت تختار الأجراس للرنين. إذا كان لديك الكثير من الأجراس ، فعليك أن تختارها أولاً ، ثم تفكر في ترتيبها.

يؤدي هذا إلى ظهور الهوية المألوفة: (n P r) = (n C r) * r!

طريقة طلب rالعناصر من nهي أولاً اختيار rالعناصر من n، ثم طلب rالعناصر ( r!)

وهذا يعني (n P r) = n! / (n-r)!و(n C r) = n! / ( (n-r)! * r! )

لكن هل تريد أن تعرف كيف تتذكر هذا إلى الأبد؟

أنا من أشد المعجبين بمبادئ التفكير الأولى. لفهم مشكلة ما ، توصل إلى جوهرها واستنتج من هناك.

عادة ما يكون عدم القيام بذلك هو مصدر الارتباك: إذا لم أفهم كيف تعمل الأشياء ، فأنا لا أعرف أين أعلق المفاهيم. إطار عملي العقلي غير مكتمل ، لذلك قررت أن أتذكره فقط.

كما يمكنك أن تتخيل ، هذا ليس مثاليًا. لذلك ، من وقت لآخر ، أنغمس في ممارسة استخلاص الأشياء من المصدر ، وبناء الحدس لكيفية عمل الأشياء.

هذه المرة ، نبني حدسًا للتبديل والتوليفات.

على سبيل المثال ، هل تعرف لماذا صيغة الجمع هي (n C r)؟ أين جاء هذا من؟ ولماذا تستخدم العوامل هنا؟

لنبدأ من المصدر. ولدت العوامل والتباديل والتوليفات من علماء رياضيات يلعبون معًا ، تمامًا مثل الطريقة التي أسس بها ستيف جوبز وستيف وزنياك شركة Apple وهي تلعب معًا في مرآبهم.

تمامًا مثلما أصبحت شركة Apple شركة مربحة كاملة ، أصبح العامل البسيط ، !ذرة مجال كامل من الرياضيات: التوافقية.

انس كل شيء ، فلنبدأ في التفكير من الأسفل إلى الأعلى.

أول حالة استخدام معروفة ومثيرة للاهتمام جاءت من الكنائس في القرن السابع عشر.

هل تساءلت كيف تدق الأجراس في الكنائس؟ هناك آلة "ترن" بالترتيب. لقد تحولنا إلى الآلات لأن الأجراس كبيرة جدًا. أيضا ، هناك أطنان من الأجراس.

كيف اكتشف الناس أفضل تسلسل للاتصال بهم؟ ماذا لو أرادوا تبديل الأمور؟ كيف يمكنهم العثور على أفضل صوت؟ كان لكل برج جرس ما يصل إلى 16 جرسًا!

لا يمكنك تغيير السرعة التي يمكنك من خلالها قرع الجرس - لم تدق الآلات سوى جرس واحد كل ثانية. الشيء الوحيد الذي يمكنك فعله هو تغيير ترتيب الأجراس. لذلك ، كان هذا التحدي يتعلق باكتشاف أفضل ترتيب.

هل يمكننا ، في الطريق ، اكتشاف جميع الطلبات الممكنة؟ نريد معرفة كل الطلبات الممكنة لمعرفة ما إذا كان الأمر يستحق تجربتها جميعًا.

تولى فابيان ستيدمان ، وهو جرس جرس ، هذا التحدي.

بدأ بجرسين. ما هي الأوامر المختلفة التي يمكنه أن يقرع بها هذه الأجراس؟ [1]

1 و 2.

أو

2 و 1.

هذا منطقي. لم تكن هناك طريقة أخرى.

ماذا عن 3 أجراس؟

1 و 2 و 3.

1 و 3 و 2.

ثم ابدأ بالجرس الثاني ،

2 و 1 و 3.

2 و 3 و 1.

ثم ابدأ بالجرس الثالث ،

3 و 1 و 2.

3 و 2 و 1.

المجموع 6.

ثم أدرك أن هذا يشبه إلى حد بعيد الأجراس!

إذا أصلح الجرس الأول ، فسيكون عدد طرق طلب الأجراس المتبقية دائمًا طريقتين.

كم عدد الطرق التي يمكنه أن يصلح الجرس الأول؟ يمكن أن يكون أي من الأجراس الثلاثة هو!

حسنًا ، استمر. ثم وصل إلى 5 أجراس.

هذا عندما أدرك أن القيام بالأشياء باليد أمر صعب. لديك فقط الكثير من الوقت في اليوم ، وعليك أن تدق الأجراس ، ولا يمكنك أن تتعثر في سحب كل الأجراس الممكنة. هل كان هناك طريقة لمعرفة ذلك بسرعة؟

عاد إلى بصيرته.

إذا كان لديه 5 أجراس ، وقام بإصلاح الجرس الأول ، فكل ما كان عليه فعله هو معرفة كيفية طلب 4 أجراس.

لأربعة أجراس؟ حسنًا ، إذا كان لديه 4 أجراس ، وقام بإصلاح الجرس الأول ، فكل ما كان عليه فعله هو معرفة كيفية طلب 3 أجراس.

وكان يعرف كيف يفعل هذا!

لذلك ، طلب 5 أجراس = 5 * طلب 4 أجراس.

طلب 4 أجراس = 4 * طلب 3 أجراس

طلب 3 أجراس = 3 * طلب 2 أجراس.

.. ترى النمط ، أليس كذلك؟

حقيقة ممتعة: هذا هو المفتاح لتقنية البرمجة تسمى العودية.

لقد فعل أيضًا. على الرغم من أن الأمر استغرق وقتًا أطول ، حيث لم يكتشف أحد بالقرب منه هذا بالفعل. [2]

وهكذا ، اكتشف أن ترتيب 5 أجراس = 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

أصبحت صيغة الترتيب هذه ، في عام 1808 ، تُعرف باسم العامل.

نحن نفكر في الترميز المضروب على أنه الأساس ، لكن الفكرة كانت موجودة قبل فترة طويلة من تسميتها. فقط عندما لاحظ عالم الرياضيات الفرنسي كريستيان كرامب أنه يتم استخدامه في أماكن قليلة أطلق عليه اسم العامل.

هذا الترتيب للأجراس يسمى التقليب.

التقليب هو ترتيب العناصر.

عند تعلم شيء ما ، أعتقد أنه يساعد في النظر إلى الأشياء من كل زاوية مختلفة ، لترسيخ الفهم.

ماذا لو حاولنا اشتقاق الصيغة أعلاه مباشرة ، دون محاولة تقليل المشكلة إلى عدد أقل من الأجراس؟

لدينا 5 مسافات ، أليس كذلك؟

كم عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار الجرس الأول؟ 5، لأن هذا هو عدد الأجراس التي لدينا.

الجرس الثاني؟ حسنًا ، استخدمنا جرسًا واحدًا عندما وضعناه في الموضع الأول ، لذلك بقي لدينا 4 أجراس.

الجرس الثالث؟ حسنًا ، لقد اخترنا الأولين ، لذلك لم يتبق سوى 3 أجراس للاختيار من بينها.

الجرس الرابع؟ لم يتبق سوى جرسين ، لذا يوجد خياران.

الجرس الخامس؟ بقي 1 فقط ، لذا خيار واحد.

ويوجد لدينا العدد الإجمالي للطلبات 5 * 4 * 3 * 2 * 1

وهكذا ، لدينا أول صيغة عامة.

عدد طرق طلب Nالعناصر هو N!

التقليب

الآن ، نحن نواجه مشكلة مختلفة. أمر الملك بعمل أجراس جديدة لكل كنيسة. بعضها لطيف ، وبعضها بخير ، والبعض الآخر سيجعلك تصم. لكن كل واحد فريد من نوعه. كل منها يصدر صوته الخاص. يمكن أن يبدو الجرس الذي يصم الآذان محاطًا بأجراس جميلة مهيبًا.

ولكن ، لا يزال برج الجرس الخاص بنا يحمل 5 أجراس ، لذلك نحتاج إلى معرفة أفضل ترتيب من بين 8 أجراس صنعها صانعو الأجراس المهرة.

باستخدام المنطق أعلاه ، يمكننا المتابعة.

للجرس الأول ، يمكننا اختيار أي من الأجراس الثمانية.

بالنسبة للجرس الثاني ، يمكننا اختيار أي من الأجراس السبعة المتبقية ... وهكذا.

في النهاية ، نحصل على 8 * 7 * 6 * 5 * 4طلبات محتملة لـ 8 أجراس في 5 مساحات.

إذا كنت معتادًا على إصدار صيغة (n P r) n! / (n-r)!، فلا تقلق ، فسنشتق ذلك قريبًا أيضًا!

إحدى الطرق السيئة لاشتقاقها هي ضرب البسط والمقام في 3! في مثالنا أعلاه -

نحصل على 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 3 * 2 * 1= 8! / 3!.

لكن هذا لا يساعدنا في فهم سبب نجاح هذه الصيغة. قبل أن نصل إلى هناك ، دعنا نلقي نظرة على اختيار الأشياء أو المجموعة.

المزيج

الآن بعد أن عرفنا كيفية ترتيب الأشياء ، يمكننا معرفة كيفية اختيار الأشياء!

لنفكر في نفس المشكلة. هناك برج جرس به 5 أجراس ولديك 8 أجراس. ومع ذلك ، في الوقت الحالي ، لا تريد معرفة ترتيب الأجراس (تذكر أن هذا ما هو التقليب).

بدلاً من ذلك ، تريد اختيار أفضل 5 أجراس ، والسماح لشخص آخر يتمتع بذوق أفضل في الموسيقى بمعرفة الترتيب. في الواقع ، نحن نقسم المشكلة إلى أجزاء: أولاً ، نحدد الأجراس التي نختارها. بعد ذلك ، اكتشفنا كيفية طلب الأجراس المختارة.

كيف تختار الأجراس؟ هذا هو "الجمع" من التباديل والتوليف.

الجمع هو الاختيار. أنت انتقائي. أنت تختار 5 أجراس من أصل 8 حرفيين صنعوها.

نظرًا لأننا نعرف كيفية طلب الأجراس ، فسنستخدم هذه المعلومات لمعرفة كيفية اختيار الأجراس. هل يبدو ذلك مستحيلا؟ انتظر حتى ترى الرياضيات الجميلة المتضمنة.

لنتخيل أن كل الأجراس في صف.

قبل إيجاد كل الطرق لاختيار الأجراس ، دعونا نركز على طريقة واحدة لاختيار الأجراس.

إحدى الطرق هي اختيار أي 5 عشوائيًا. هذا لا يساعدنا في حل المشكلة كثيرًا ، لذلك دعونا نجرب طريقة أخرى.

نضع الأجراس في خط ، ونختار أول 5. هذه طريقة واحدة لاختيار الأجراس.

لاحظ أنه حتى إذا قمنا بتبديل مواضع أول 5 أجراس ، فإن الخيار لا يتغير. لا يزالون بنفس الطريقة لاختيار 5 أجراس فريدة.

هذا صحيح أيضًا بالنسبة للأجراس الثلاثة الأخيرة.

الآن ، خدعة الرياضيات الجميلة - لهذه طريقة واحدة لاختيار الأجراس الخمسة ، ما كل ترتيب الأجراس الثمانية حيث نختار بالضبط هذه الأجراس الخمسة؟ من الصورة أعلاه ، كل ترتيب الأجراس الخمسة ( 5!) وجميع ترتيب الأجراس الثلاثة المتبقية ( 3!).

وهكذا ، لكل طريقة واحدة لاختيار 5 أجراس ، لدينا ( 5! * 3!) طلبات من 8 أجراس.

ما هو إجمالي الطلبات الممكنة لـ 8 أجراس؟ 8!.

تذكر ، لكل اختيار من أول 5 أجراس ، لدينا ( 5! * 3!) طلبات من 8 أجراس تعطي نفس الاختيار.

بعد ذلك ، إذا قمنا بضرب عدد الطرق لاختيار أول 5 أجراس مع جميع الطلبات الممكنة من خيار واحد ، فيجب أن نحصل على العدد الإجمالي للطلبات.

Ways to choose 5 bells * orderings of one choice = Total orderings 

وبالتالي،

Ways to choose 5 bells = the total possible orderings / total orderings of one choice. 

في الرياضيات ، يصبح هذا:

(8 C 5) = 8! / ( 5! * 3!) 

حسنًا ، وجدنا تفسيرًا بديهيًا لكيفية اختيار 5 أشياء من 8.

الآن ، يمكننا تعميم هذا. إذا كان لدينا N أشياء ، وأردنا اختيار R منها ، فهذا يعني أننا نرسم خطًا عند R.

مما يعني أن العناصر المتبقية ستكون N-R. لذلك ، بالنسبة لاختيار واحد من Rالعناصر ، لدينا R! * (N-R)!طلبات تقدم نفس Rالعناصر.

لجميع الطرق لاختيار Rالعناصر ، لدينا N! / (R! * (N-R)!)إمكانيات.

عدد طرق اختيار rالعناصر من nهو(n C r) = n! / (r! * (n-r)!)

من الناحية العامية ، يتم نطق (n C r) أيضًا n choose r، مما يساعد على ترسيخ فكرة أن المجموعات مخصصة لاختيار العناصر.

التقليب - إعادة النظر

بعد الانتهاء من عملية الجمع وإزالة الغبار ، دعنا نعود إلى الجزء الثاني من عملنا. اختار صديقنا العزيز أفضل 5 أجراس من خلال اكتشاف كل المجموعات الممكنة من 5 أجراس.

مهمتنا الآن هي العثور على اللحن المثالي من خلال معرفة عدد الطلبات.

لكن هذا هو الجزء السهل. نحن نعلم بالفعل كيفية طلب 5 عناصر. لقد 5!انتهينا.

لذلك ، لتبديل (ترتيب) 5 عناصر من 8 ، نختار أولاً 5 عناصر ، ثم نطلب العناصر الخمسة.

بعبارات أخرى،

(8 P 5) = (8 C 5) * 5! 

وإذا قمنا بتوسيع الصيغة ، (8 P 5) = (8! / ( 5! * 3!)) * 5!

(8 P 5) = 8! / 3!.

لقد وصلنا إلى دائرة كاملة في الصيغة الأصلية ، مشتقة بشكل صحيح.

عدد طرق طلب rالعناصر من nهو(n P r) = n! / (n-r)!

الفرق بين التقليب والجمع

آمل أن يجعل هذا الفرق بين التباديل والتوليفات واضحًا تمامًا.

التباديل هي أوامر ، في حين أن المجموعات اختيارات.

لترتيب عناصر N ، وجدنا طريقتين بديهيتين لمعرفة الإجابة. كلاهما يؤدي إلى الإجابة ، N!.

لتبديل 5 من 8 عناصر ، عليك أولاً اختيار العناصر الخمسة ، ثم ترتيبها. اخترت استخدام (8 C 5)، ثم اطلب 5 باستخدام 5!.

والحدس لاختيار Rمن Nهو معرفة جميع أوامر شراء ( N!) وقسمة الناتج على أوامر شراء حيث أولا Rوأخيرا N-Rلا تزال هي نفسها ( R!و (N-R)!).

وهذا كل ما في التباديل والتوليفات.

كل تبديل وتوليفة متقدمة تستخدم هذا كأساس. الجمع مع الاستبدال؟ نفس الفكرة. التقليب بعناصر متطابقة؟ نفس الفكرة ، يتغير عدد الطلبات فقط ، لأن بعض العناصر متطابقة.

إذا كنت مهتمًا ، فيمكننا الخوض في الحالات المعقدة في مثال آخر. اسمحوا لي أن أعرف على تويتر.

تحقق من المزيد من المنشورات على مدونتي ، وانضم إلى القائمة البريدية الأسبوعية.

ملاحظات النهاية

  1. هكذا أتخيل أنه اكتشف الأشياء. لا تأخذها كدرس في التاريخ.
  2. كان الهنود ، في القرن الثاني عشر ، قبله 400 عام.